Question

若函数f（x）=sinx的图象的两条相互垂直的切线交于P点，则点P的坐标不可能是（　　）

• A、（

  π

  2

  ，

  π

  2

  ）
• B、（

  3π

  2

  ，-

  π

  2

  ）
• C、（-

  π

  2

  ，-

  π

  2

  ）
• D、（

  3π

  2

  ，

  π

  2

  ）

Answer 1

考点：正弦函数的图象,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：三角函数的图像与性质

分析：若l₁，l₂是函数f（x）=sinx图象上的任意两条相互垂直的切线，设这两个切点的横坐标分别为x₁、x₂，则cosx₁cosx₂=-1，即切点的横坐标等于kπ，纵坐标为0．求出相邻的两条切线方程，解方程组求出两切线交点的坐标，检验可得结论．

解答： 解：由f（x）=sinx，得f′（x）=cosx，若l₁，l₂是函数f（x）=sinx图象上的任意两条相互垂直的切线，
设这两个切点的横坐标分别为x₁、x₂，则cosx₁cosx₂=-1．
不妨设cosx₁≤cosx₂，则必有cosx₁=-1，cosx₂=1，故切点的横坐标等于kπ，纵坐标为0．
由于所给选项纵坐标比较小，故这两条切线必为相邻两条互相垂的切线．
不妨设切线的斜率等于1的切线对应的一个切点为A（0，0），则另一个切线的斜率为-1．
①当另一个切点为B（-π，0），则两条切线的方程分别为y=x、y=-1（x+π），
可得此时这两条切线的交点为（-

π

2

，-

π

2

）．
②当另一个切点为C（π，0），则两条切线的方程分别为y=x、y=-1（x-π），
可得此时这两条切线的交点为（

π

2

，

π

2

）．
③若斜率等于1的切线对应的一个切点为E（2π，0），当另一个切点为C（π，0），
则两条切线的方程分别为y=x-2π、y=-1（x-π），
可得此时这两条切线的交点为（

3π

2

，-

π

2

）．
故A、B、C都可以，D选项不可能，
故选：D．

点评：本题主要考查正弦函数的图象，求函数在某一点的切线方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．