Question

某学校有120名教师，其年龄都在20～60岁之间，各年龄段人数按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）分组，其频率分布直方图如右图所示．学校为了适应新课程改革，要求每名教师都要参加甲、乙两项培训，培训结束后进行结业考试，已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．

年龄分组	甲项培训成绩优秀人数	乙项培训成绩优秀人数
[20，30）	30	18
[30，40）	36	24
[40，50）	12	9
[50，60）	4	3

（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求各年龄段应分别抽取的人数，并估计全校教师的平均年龄；
（2）随机从年龄段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，求这两人中至少有一人在甲、乙两项培训结业考试成绩为优秀的概率．

Answer 1

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（1）根据频率分布直方图和频率分布表和分层抽样的方法即可求出各年龄段应分别抽取的人数，并可估计全校教师的平均年龄；
（2）根据互斥事件的概率公式即可求出答案．

解答： 解：（1）由频率分布直方图知，年龄段[20，30）、[30，40）、[40，50）、[50，60）的人数的频率分别为0.35、0.40、0.15、0.10…1分
∵0.35×40=14，0.40×40=16，0.15×40=6，0.10×40=4…3分
∴年龄段[20，30）、[30，40）、[40，50）、[50，60）应取的人数分别为14、16、6、4…4分
∵各年龄组的中点值分别为25、35、45、55．对应的频率分别为0.35、0.40、0.15、0.10．
则

.

x

=25×0.35+35×0.40+45×0.15+55×0.10=35…5分
由此估计全校教师的平均年龄为35岁．…6分
（2）因为年龄段[20，30）的教师人数为120×0.35=42人，…7分
年龄段[30，40）的教师人数为120×0.40=48人，…8分
从年龄段[20，30）任取1人，此人在甲、乙两项培训考试成绩优秀的事件分别记为A、B； 两项都为优秀的事件记为M．
从年龄段[30，40）任取1人，此人在甲、乙两项培训考试成绩优秀的事件分别记为C、D； 两项都为优秀的事件记为N．由表知.P(A)=

30

42

，P(B)=

18

42

，
则P(M)=P(AB)=P(A)•P(B)=

30

42

×

18

42

=

15

49

…9分
P(C)=

36

48

，P(D)=

24

48

，则P(N)=P(CD)=P(C)•P(D)=

36

48

×

24

48

=

3

8

…10分
记这两人中至少有1人在甲、乙两项培训考试成绩为优秀的事件为E．
则P(E)=1-[1-P(M)]•[1-P(N)]=1-(1-

15

49

)×(1-

3

8

)=

111

196

…12分．

点评：本题考查频率分布直方图和率以及互斥事件的概率公式，属于中档题．