Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且S₂+

1

2

a₂=4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=a_n•log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，利用等比数列的通项公式及其前n项和定义即可得出．
（2）b_n=a_n•log₂a_n=（n-1）•2^n-1，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁=1，且S₂+

1

2

a₂=4，
∴1+q+

1

2

q=4，解得q=2，
∴an=2n-1．
（2）b_n=a_n•log₂a_n=（n-1）•2^n-1，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=0+2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1，
2T_n=0+2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-2）×2^n-1+（n-1）×2ⁿ，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2^n-1-（n-1）×2ⁿ=

2(2n-1-1)

2-1

-（n-1）×2ⁿ=（2-n）×2ⁿ-2，
∴Tn=(n-2)×2n+2．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．