Question

已知函数f（x）=ax²-2（a-1）x+2
（1）若关于x的不等式f（x）＜m的解集为{x|-1＜x＜2}，求实数a和m的值；
（2）解关于x的不等式：f（x）＜4-a（a∈R）．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,二次函数的性质

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由于关于x的不等式f（x）＜m的解集为{x|-1＜x＜2}，可得-1，2是方程ax²-2（a-1）x+2=m的两个实数根，且a＞0．利用根与系数的关系即可得出；
（2）通过对a分类讨论比较两个实数根的大小，利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜m的解集为{x|-1＜x＜2}，
∴-1，2是方程ax²-2（a-1）x+2=m的两个实数根，且a＞0．
∴

-1+2= 2(a-1) a -1×2= 2-m a

且a＞0，解得a=2，m=6．
∴实数a=2，m=6；
（2）关于x的不等式：f（x）＜4-a（a∈R）化为ax²-2（a-1）x+a-2＜0．
①当a=0时，上述不等式化为2x-2＜0，解得x＜1，其解集为{x|x＜1}．
②当a＞0时，上述不等式化为(x-

a-2

a

)(x-1)＜0，
∵

a-2

a

=1-

2

a

＜1，∴其解集为{x|

a-2

a

＜x＜1}．
③当a＜0时，上述不等式化为(x-

a-2

a

)(x-1)＞0，
∵

a-2

a

=1-

2

a

＞1，∴其解集为{x|x＜1或x＞

a-2

a

}．
综上可知：①当a=0时，其解集为{x|x＜1}．
②当a＞0时，其解集为{x|

a-2

a

＜x＜1}．
③当a＜0时，其解集为{x|x＜1或x＞

a-2

a

}．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系，属于中档题．