Question

对任意x∈R，都有f（x+1）=f（x），g（x+1）=-g（x），且h（x）=f（x）g（x）在[0，1]上的值域[-1，2]，则h（x）在[0，2]上的值域为

 

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Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令1≤x≤2，则0≤x-1≤1，运用h（x）在[0，1]上的值域[-1，2]，以及f（x+1）=f（x），g（x+1）=-g（x），求出h（x-1）=-h（x），求出[1，2]上的值域，最后求并集即可．

解答： 解：令1≤x≤2，则0≤x-1≤1，
∵f（x+1）=f（x），g（x+1）=-g（x），
∴f（x-1）=f（x），g（x-1）=-g（x），
即h（x-1）=f（x-1）g（x-1）=-f（x）g（x）=-h（x），
∵h（x）=f（x）g（x）在[0，1]上的值域[-1，2]，
∴当1≤x≤2时，h（x）的值域为[-2，1]，
∴h（x）在[0，2]上的值域为[-1，2]∪[-2，1]=[-2，2]．
故答案为：[-2，2]．

点评：本题考查函数的性质和运用，主要是值域的求法，考查解决抽象函数的常用方法：赋值（式）法，属于基础题．