Question

13．（1）已知实数x，y均为正数，求证：$（x+y）（\frac{4}{x}+\frac{9}{y}）≥25$；
（2）解关于x的不等式x²-2ax+a²-1＜0（a∈R）．

Answer 1

分析 （1）化简不等式的左边，利用基本不等式求得最小值即可；
（2）原不等式可化为[x-（a+1）]•[x-（a-1）]＜0，求出不等式对应方程的根，再写出不等式的解集．

解答 解：（1）证明：$（x+y）（\frac{4}{x}+\frac{9}{y}）=4+9+\frac{4y}{x}+\frac{9x}{y}$=$13+（\frac{4y}{x}+\frac{9x}{y}）$，…（2分）
又因为x＞0，y＞0，所以$\frac{4y}{x}＞0，\frac{9x}{y}＞0$，
由基本不等式得，$\frac{4y}{x}+\frac{9x}{y}≥2\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{9x}{y}}=12$，…（4分）
当且仅当$\frac{4y}{x}=\frac{9x}{y}$时，取等号，
即2y=3x时取等号，
所以$（x+y）（\frac{4}{x}+\frac{9}{y}）≥25$；…（5分）
（2）原不等式可化为[x-（a+1）]•[x-（a-1）]＜0，…（7分）
令[x-（a+1）]•[x-（a-1）]=0，
得 x₁=a+1，x₂=a-1，
又因为a+1＞a-1，…（9分）
所以原不等式的解集为（a-1，a+1）．…（10分）

点评 本题考查了基本不等式与一元二次不等式的解法和应用问题，是中档题．