Question

13．已知函数f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=1n（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x）．
（1）证明函数f（x）在[0，+∞）上为减函数；
（2）若f（t）+f（1-2t）＜0，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）证明f′（x）=-$\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$＜0，即可证明函数f（x）在[0，+∞）上为减函数；
（2）利用函数f（x）在R上为减函数，函数f（x）是奇函数，结合f（t）+f（1-2t）＜0，求实数t的取值范围．

解答 （1）证明：∵当x≥0时，f（x）=1n（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x），
∴f′（x）=-$\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$＜0，
∴函数f（x）在[0，+∞）上为减函数；
（2）解：∵函数f（x）是奇函数，函数f（x）在[0，+∞）上为减函数，
∴函数f（x）在R上为减函数
∵f（t）+f（1-2t）＜0，
∴f（t）＜f（2t-1），
∴t＞2t-1，
∴t＜1．

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．