Question

3．函数f（x）=sin²x-sin²（x-$\frac{π}{6}$），x∈R在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]上的值域[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]．

Answer 1

分析 使用二倍角公式化简f（x），根据x的范围和正弦函数的图象与性质得出f（x）的最值．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x-[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{3}$）]=$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$cos2x=-$\frac{1}{4}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值-$\frac{1}{2}$，当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于基础题．