Question

以下命题：
①存在x，使sinx•cosx=

3

4

；
②y=lg（2cosx-1）的定义域为（2kπ-

π

3

，2kπ+

π

3

）且k∈Z；
③因为y=sinx的递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，故y=sinx在第一象限内递增；
④若α，β为第三象限角，且sinα＞sinβ，则必有tanα＞tanβ；
⑤函数f（x）=2sin（ωx+

π

4

）在同一周期内的最高点和最低点间距离为

16+π2

，则ω=2；
其中正确的为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：①运用二倍角的正弦公式，及正弦函数的有界性，即可判断①；
②由对数的真数大于0，及余弦函数的图象，即可判断②；
③比如x₁=

π

3

，x₂=

7π

3

，则sinx₁=sinx₂=

3

2

，故y=sinx在第一象限内不递增，可判断③；
④可取α=

5π

4

，β=

4π

3

，满足sinα＞sinβ，但tanα＜tanβ，可判断④；
⑤根据相邻的最高点和最低点的距离为半个周期，及两点间的距离公式和周期公式，即可判断⑤．

解答： 解：①由于sinx•cosx=

3

4

，即sin2x=

3

2

＞1，故①错；
②2cosx-1＞0，cosx＞

1

2

，则由余弦函数的图象得，2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

，k∈Z，故②对；
③比如x₁=

π

3

，x₂=

7π

3

，则sinx₁=sinx₂=

3

2

，故y=sinx在第一象限内递增，不能这样说，故③错；
④可取α=

5π

4

，β=

4π

3

，满足sinα＞sinβ，但tanα＜tanβ，故④错；
⑤由两点间的距离得，

( T 2 )2+42

=

16+π2

，解得T=2π，ω=

2π

T

=1．故⑤错．
故答案为：②

点评：本题考查三角函数的图象和性质，考查函数的单调性、周期性、有界性，考查三角公式及运用，属于中档题．