Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，且AD=2BC，AD⊥CD，PA=PD，M为棱AD的中点．
（1）求证：CD∥平面PBM；
（2）求证：平面PAD⊥平面PBM．

Answer 1

分析 （1）证明四边形BCDM为平行四边形，可得CD∥BM，利用线面平行的判定定理证明CD∥平面PBM；
（2）利用线面垂直的判定定理证明AD⊥平面PBM，再证明平面PAD⊥平面PBM即可．

解答 证明：（1）因为AD∥BC，且AD=2BC，
所以四边形BCDM为平行四边形，
故CD∥BM，
又CD?平面PBM，BM?平面PBM，
所以CD∥平面PBM；（6分）
（2）因为PA=PD，点M为棱AD的中点，
所以PM⊥AD，
又AD⊥CD，CD∥BM，故AD⊥BM，
而PM∩BM=M，PM、BM?平面PBM，
所以AD⊥平面PBM，
又AD?平面PAD，所以平面PAD⊥平面PBM．（14分）

点评 本题考查线面平行、垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．