Question

10．已知函数f（x）=ln（ax+1）+$\frac{1-x}{1+x}（{x≥0}）$，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出a的范围即可．

解答 解：定义域为[0，+∞）.$f'（x）=\frac{a}{ax+1}-\frac{2}{{{{（1+x）}^2}}}=\frac{{a{x^2}+a-2}}{{（ax+1）{{（1+x）}^2}}}$．
（Ⅰ）若a=1，则$f'（x）=\frac{{{x^2}-1}}{{（x+1）{{（1+x）}^2}}}$，令f'（x）=0，得x=1（舍-1），

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以a=1时，f（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{{a{x^2}+a-2}}{{（ax+1）{{（1+x）}^2}}}$，∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0，
①当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，+∞）单调递增，
所以f（x）的最小值是f（0）=1；
②当0＜a＜2时，由f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$，
由f′（x）＜0，解得：x＜$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$，
∴f（x）的单调减区间是（0，$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$），单调递增区间是（$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$，+∞），
所以f（x）在x=$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$处取得最小值，注意到f（$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$）＜f（0）=1，所以不满足，
综上可知，若f（x）得最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．