Question

10．已知函数f（x）=$\frac{f'（1）}{e}•{e^x}-f（0）•x+\frac{1}{2}{x^2}（e$是自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），f（0），求出函数的解析式即可；（Ⅱ）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$f'（x）=\frac{f'（1）}{e}{e^x}-f（0）+x$，
所以f'（1）=f'（1）-f（0）=1，即f（0）=1．…2分
又$f（0）=\frac{f'（1）}{e}$，所以f'（1）=e，
从而$f（x）={e^x}-x+\frac{1}{2}{x^2}$．  …5分
（Ⅱ）显然f'（x）=e^x-1+x在R上单调递增且f'（0）=0，…7分
故当x∈（-∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．
所以f（x）的单调递减区间是（-∞，0），单调递增区间是（0，+∞）．…10分．

点评 本题考查了函数的解析式问题，考查函数的单调性问题，是一道中档题．