Question

已知圆内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线．
（Ⅰ）求∠BAE 的度数；
（Ⅱ）求证：CD²=BD•EC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）证明∠EBA=∠EAC，可得∠EAB=∠ECA，利用△ADC为正三角形，即可求∠BAE 的度数；
（Ⅱ）先证明△ABD∽△EAC，可得AD•CA=BD•EC，再结合△ACD为等边三角形，所以AD=AC=CD，即可得出结论

解答： 证明：（Ⅰ）在△EAB与△ECA中，
因为AE为圆O的切线，
所以∠EBA=∠EAC
因为∠E公用，
所以∠EAB=∠ECA，
因为△ADC为正三角形，
所以∠BAE=∠ECA=120°；
（Ⅱ）因为AE为圆O的切线，所以∠ABD=∠CAE．             
因为△ACD为等边三角形，所以∠ADC=∠ACD，
所以∠ADB=∠ECA，所以△ABD∽△EAC．               
所以

AD

BD

=

EC

CA

，即AD•CA=BD•EC．                      
因为△ACD为等边三角形，所以AD=AC=CD，
所以CD²=BD•EC．

点评：本题考查三角形相似的判断，考查圆的切线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．