Question

已知f（x）=a（x+2a）（x-a-3），g（x）=2^-x-2同时满足下列条件：
①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②?x∈（1，+∞），f（x）g（x）＜0；
则实数a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由①可得当x≤-1时，f（x）＜0，根据②可得当x＞1时，函数f（x）在x轴的上方有图象，故有

a＜0 -2a≠a+3 -1＜-2a -1＜a+3 -2a＞1或a+3＞1

，由此解得实数a的取值范围．

解答： 解：∵已知f（x）=a（x+2a）（x-a-3），g（x）=2^-x-2，
根据①?x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，
即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．
由g（x）＜0，求得x＞-1，即当x＞-1时，g（x）＜0；
当x＜-1时，g（x）＞0．
故当x≤-1时，f（x）＜0．
根据②?x∈（1，+∞），使f（x）•g（x）＜0成立，
而当x＞1时，g（x）=2^-x-2＜0，
故f（x）=a（x+2a）（x-a-3）＞0在（1，+∞）上有解，
即当x＞1时，函数f（x）在x轴的上方有图象，
故函数f（x）和函数g（x）的图象如图所示：
综合以上，可得

a＜0 -2a≠a+3 -1＜-2a -1＜a+3 -2a＞1或a+3＞1

a＜0 -2a≠a+3 f(1)＞0 f(-1)＜0

，
解得：a∈（-4，-1）∪（-1，0）．
故答案为：（-4，-1）∪（-1，0）

点评：本题主要考查二次函数的性质，指数函数的图象和性质，体现了转化、数形结合的数学思想，难度较大．