Question

已知函数f（x）=1-

x-1

ex

，g（x）=x-lnx．
（1）证明：g（x）≥1；
（2）证明：（x-lnx）f（x）＞1-

1

e2

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）对g（x）进行求导，讨论其单调性，确定其最小值来证明不等式．
（2）对f（x）单独求导，讨论其单调性，确定其最值，注意结合着（1）的结论，即x-lnx≥1，从而证明不等式．

解答： 解：（1）g′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

(x＞0)，
令g′（x）＞0，x＞1；令g′（x）＜0，0＜x＜1．
∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∴g（x）_min=g（1）=1．
∴g（x）≥1．
（2）f′(x)=-

ex-(x-1)ex

e2x

=

x-2

ex

，
令f′（x）＞0，x＞2；令f′（x）＜0，0＜x＜2．
∴f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．
∴f(x)min=f(2)=1-

1

e2

，
∴f(x)≥1-

1

e2

．（当且仅当x=2时取等号）
又由（1）可知，g（x）=x-lnx≥1，（当且仅当x=1时取等号）
∴（x-lnx）f（x）＞1-

1

e2

．

点评：本题是导数简单应用的考查，在处理问题时直接求导即可．值得一提的是，在第二问中，先观察不等式右边的式子恰好是函数f（x）在x=2处的函数值，再结合着第一问的结论，命题就不难证出了．