Question

点A时椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上的一个动点，点P在线段OA的延长上且

OA

•

OP

=48．则点P的横坐标的最大值是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据向量共线定理设

OP

=λ

OA

（λ＞1），结合题意算出λ=

48

| OA |2

．设A（x，y）、P（m，n），由向量的坐标运算公式，化简得m=λx═

48

9 x + 16 25 x

，再利用基本不等式求最值，可得P点横坐标的最大值．

解答： 解：∵点P在线段OA的延长线上，
∴设

OP

=λ

OA

（λ＞1），
由

OA

•

OP

=48得λ|

OA

|²=48，可得λ=

48

| OA |2

．
设A（x，y），P（m，n），则
m=λx=

48

| OA |2

•x=

48

x2+y2

•x=

48

9 x + 16 25 x

≤

48

2 9 x • 16 25 x

=10，
由此可得：当且仅当

9

x

=

16

25

x，即A点横坐标x=

15

4

时，P点横坐标的最大值为10．
故答案为：10．

点评：本题已知椭圆上的动点满足的条件，求点P横坐标的最大值．着重考查了向量的数量积及其运算性质、向量的坐标运算公式、基本不等式与椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．