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已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点,点M在椭圆上, = +,求椭圆的方程.
+y2=1
由e=得a2=4b2,椭圆可化为:
x2+4y2=4b2.
将y=x+1代入上式,消去y并整理得:
x2+2x+2-2b2="0.                                                " ①
∵直线y=x+1与椭圆交于A、B两点,
∴Δ=4-4(2-2b2)>0,∴b>.
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则由
= +,
.
∵M在椭圆上,∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=4b2,
∴x1x2+4y1y2=0.
∴x1x2+·4=0,
即x1x2+(x1+x2)+2="0                            " ②
又由①知x1+x2=-2,x1·x2=2-2b2,
代入②中得b2=1,满足b>.
∴椭圆方程为+y2=1.
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