Question

若（ax²+

b

x

）⁶的展开式中x³项的系数为20，则a²+b²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,基本不等式

专题：二项式定理

分析：利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．

解答： 解：（ax²+

b

x

）⁶的展开式中x³项的系数为20，
所以T_r+1=

C

r 6

(ax2)6-r(

b

x

)r=

C

r 6

a6-rbrx12-3r，
令12-3r=3，∴r=3，

C

3 6

a3b3=20，
∴ab=1，
a²+b²≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．
a²+b²的最小值为：2．
故答案为：2．

点评：本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．