Question

9．在△ABC中，若（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|²，则$\frac{tanA}{tanB}$=5．

Answer 1

分析 由已知得到（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）•（$\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$）=${\overrightarrow{CB}}^{2}-{\overrightarrow{CA}}^{2}$=$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|²，得到三角形的三边关系，结合余弦定理以及三角函数求出．

解答 解：由已知（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|²，所以（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）•（$\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$）=${\overrightarrow{CB}}^{2}-{\overrightarrow{CA}}^{2}$=$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|²，即CB²=CA²+$\frac{2}{3}$AB²，
又BC²=AB²+AC²-2AB×ACcosA，
所以CA²+$\frac{2}{3}$AB²=AB²+AC²-2AB×ACcosA，整理得$\frac{1}{6}$AB=ACcosA，
设AB边上的高为CD，则AD=ACcosA，
所以BD=5AD，所以$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{BD}{AD}$=5．
故答案为：5．

点评 本题考查了平面向量与余弦定理相结合的三角形问题；关键是由已知得到三角形三边关系．