Question

已知函数f（x）=（

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）^x-log₂x，正实数a，b，c依次成公差为正数的等差数列，且满足f（a）•f（b）•f（c）＜0，若实数d是方程f（x）=0的一个解，那么下列四个判断：
①a＜b＜d＜c；②b＜a＜d＜c③c＜a＜b＜d；④d＜a＜b＜c；中有可能成立的序号是（　　）

• A、②③
• B、①③
• C、③④
• D、①④

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：由函数f（x）=（

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）^x-log₂x为减函数，由已知条件设0＜a＜b＜c，从而得到f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，或者f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0，由此能求出结果．

解答： 解：f（x）=（

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）^x-log₂x是由y=（

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）^x和y=-log₂x构成的复合函数，
∵两个函数都是减函数，
∴函数f（x）=（

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）^x-log₂x为减函数．
∵正实数a，b，c是公差为正数的等差数列，
∴不妨设0＜a＜b＜c，
∵f（a）f（b）f（c）＜0
∴f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，或者f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0
综合以上两种可能，恒有f（c）＜0，
∵实数d是方程f（x）=0的一个解，
∴可能有①a＜b＜d＜c，④d＜a＜b＜c正确．
故选：D．

点评：本题考查等差数列的性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意函数的单调性的灵活运用．