Question

已知函数f（x）=lnx-x-

a

x

．
（1）若a=0，求f（x）的极大值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）f（x）=lnx-x的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=

1

x

-1，从而判断单调区间及极大值；
（2）f（x）=lnx-x-

a

x

的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=

1

x

-1+

a

x2

=

-x2+x+a

x2

，令m（x）=-x²+x+a=-（x-

1

2

）²+

1

4

+a，通过讨论m（x）的正负讨论f′（x）的正负，从而确定f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）f（x）=lnx-x的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-1，
故f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
故f（x）的极大值为f（1）=0-1=-1；
（2）f（x）=lnx-x-

a

x

的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-1+

a

x2

=

-x2+x+a

x2

，
令m（x）=-x²+x+a=-（x-

1

2

）²+

1

4

+a，
当a≤-

1

4

时，f′（x）≤0；
故f（x）=lnx-x-

a

x

在（0，+∞）上为减函数，
当-

1

4

＜a＜0时，
解-（x-

1

2

）²+

1

4

+a＞0得，

1- 1+4a

2

＜x＜

1+ 1+4a

2

；
故f（x）=lnx-x-

a

x

在（0，

1- 1+4a

2

），（

1+ 1+4a

2

，+∞）上为减函数，
在（

1- 1+4a

2

，

1+ 1+4a

2

）上为增函数；
当a≥0时，解-（x-

1

2

）²+

1

4

+a＞0得，

1- 1+4a

2

＜x＜

1+ 1+4a

2

；
故f（x）=lnx-x-

a

x

在（0，

1+ 1+4a

2

）上为增函数，在（

1+ 1+4a

2

，+∞）上为减函数．

点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想，属于中档题．