Question

10．设直线y=$\frac{1}{2}$x+2与双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：
（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；
（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k_OA、k_OB，求k_OA•k_OB的值．

Answer 1

分析 （1）联立方程组，消去y得关于x的一元二次方程，利用中点坐标公式以及两点间的距离公式求出半径和圆心即可得到结论．
（2）求出对应的斜率，结合根与系数之间的关系代入进行求解即可．

解答 解：（1）将直线y=$\frac{1}{2}$x+2代入$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得x²-4x-14=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4，x₁x₂=-14，
则AB的中点C的横坐标x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{4}{2}=2$，纵坐标y=$\frac{1}{2}×2+2=1+2=3$，即圆心C（2，3），
|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）×（16+4×14）}$=$\sqrt{\frac{5}{4}×72}$=3$\sqrt{10}$，
则半径R=$\frac{1}{2}|AB|=\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
则圆的标准方程为（x-2）²+（y-3）²=$\frac{45}{2}$．
（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k_OA、k_OB，
则k_OA=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，k_OB=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，
则k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（\frac{1}{2}{x}_{1}+2）（\frac{1}{2}{x}_{2}+2）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}+4}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-14×\frac{1}{4}+4+4}{-14}$=-$\frac{9}{28}$．

点评 本题主要考查直线和双曲线位置关系的应用，利用转化法转化为一元二次方程，结合根与系数之间的关系是解决本题的关键．考查学生的运算能力．