Question

9．如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C₁，C₂，…，C₆，直径AB上有异于A，B的四个点D₁，D₂，D₃，D₄，则：
（1）以这12个点（包括A，B）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
（2）以这10个点（不包括A，B）中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C₁的有多少个？

Answer 1

分析 （1）构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类，利用组合知识求解即可；
（2）分成三类，利用组合知识求解即可．

解答 解：（1）构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：
①四个点从C₁，C₂，…，C₆中取出，有C₆⁴个四边形；
②三个点从C₁，C₂，…，C₆中取出，另一个点从D₁，D₂，D₃，D₄，A，B中取出，有C₆³C₆¹个四边形；
③二个点从C₁，C₂，…，C₆中取出，另外二个点从D₁，D₂，D₃，D₄，A，B中取出，有C₆²C₆²个四边形．
故满足条件的四边形共有N=C₆⁴+C₆³C₆¹+C₆²C₆²=360（个）．
（2）类似于（1）可分三种情况讨论得三角形个数为C₆³+C₆¹C₄²+C₆²C₄¹=116（个）．
其中含点C₁的有C₅²+C₅¹C₄¹+C₄²=36（个）．

点评 本题主要考查了分类计数原理和分步计数原理，如何分类是关键，属于中档题．