Question

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x²+y²-12x-14y+60=0及其上一点A（2，4）．
（1）求过点A的圆M的切线方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得$\overrightarrow{TA}$+$\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将圆M化为标准方程，求得圆心和半径，直线AM的斜率和切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；
（2）由题意得OA=2$\sqrt{5}$，k_OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=$\frac{|5+b|}{\sqrt{5}}$，由此能求出直线l的方程；
（3）$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{PQ}$，即|$\overrightarrow{TA}$|=$\sqrt{（t-2）^{2}+{4}^{2}}$，又|$\overrightarrow{PQ}$|≤10，得t∈[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]，对于任意t∈[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]．欲使$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{PQ}$，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为$\sqrt{25-\frac{|\overrightarrow{TA}{|}^{2}}{4}}$，由此能求出实数t的取值范围．

解答 解：（1）由题意，圆M：（x-6）²+（y-7）²=25，圆心M（6，7），
则k_AM=$\frac{7-4}{6-2}$=$\frac{3}{4}$，所以切线方程y-4=-$\frac{4}{3}$（x-2），即4x+3y-20=0；…（4分）
（2）由题意得OA=2$\sqrt{5}$，k_OA=2，设l：y=2x+b，
则圆心M到直线l的距离d=$\frac{|12-7+b|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|5+b|}{\sqrt{5}}$，…（6分）
则|BC|=2$\sqrt{{5}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{25-\frac{（5+b）^{2}}{5}}$，
又|BC|=2$\sqrt{5}$，即2$\sqrt{25-\frac{（5+b）^{2}}{5}}$=2$\sqrt{5}$，
解得b=5或b=-15，即l：y=2x+5或y=2x-15； …（8分）
（3）$\overrightarrow{TA}$+$\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$，即$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{TQ}$-$\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{PQ}$，即|$\overrightarrow{TA}$|=|$\overrightarrow{PQ}$|，
|$\overrightarrow{TA}$|=$\sqrt{（t-2）^{2}+{4}^{2}}$，
又|$\overrightarrow{PQ}$|≤10，即$\sqrt{（t-2）^{2}+{4}^{2}}$≤10，解得t∈[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]．
对于任意t∈[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]，欲使$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{PQ}$，
此时|$\overrightarrow{TA}$|≤10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为$\sqrt{25-\frac{|\overrightarrow{TA}{|}^{2}}{4}}$．
必然与圆交于P、Q两点，此时|$\overrightarrow{TA}$|=|$\overrightarrow{PQ}$|，即$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{PQ}$，
因此实数t的取值范围为t∈[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]．…（12分）

点评 本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．