Question

如图，圆与离心率为的椭圆（）相切于点.

(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过点引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点、与点、（均不重合）.
(ⅰ)若为椭圆上任一点，记点到两直线的距离分别为、，求的最大值；
(ⅱ)若，求与的方程.

Answer 1

(Ⅰ)。
(Ⅱ) 的方程为，的方程为
或的方程为，的方程为。

解析试题分析：(Ⅰ)由题意: 解得   2分
椭圆的方程为                            3分
(Ⅱ)（ⅰ）设因为⊥,则因为
所以            5分
因为 
所以当时取得最大值为，此时点        6分
（ⅱ）设的方程为,由解得
由   解得                    8分
同理可得，                  10分
所以，
，
由得解得        13分
所以的方程为，的方程为
或的方程为，的方程为             14分
考点：本题主要考椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线椭圆的位置关系，圆的切线。
点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）结合向量的坐标运算，确定得到k的方程，为进一步确定直线方程奠定基础。