Question

14．在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=8{tan^2}θ\\ y=8tanθ\end{array}\right.$（θ为参数，$θ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的方程为$ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）=-4\sqrt{2}$．
（1）求直线l的直角坐标方程；
（2）若P为曲线C上一点，Q为l上一点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）直线l的方程转化为$ρcosθcos\frac{π}{4}$+$ρsinθsin\frac{π}{4}$=-4$\sqrt{2}$，由此能求出直线l的直角坐标方程．
（2）点P（8tan²θ，8tanθ）到直线l的距离d=$\frac{|8ta{n}^{2}θ+8tanθ+8|}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$（tan$θ+\frac{1}{2}$）²+3$\sqrt{2}$，由此能求出当tanθ=-$\frac{1}{2}$时，|PQ|取得最小值．

解答 解：（1）∵直线l的方程为$ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）=-4\sqrt{2}$．
即$ρcosθcos\frac{π}{4}$+$ρsinθsin\frac{π}{4}$=-4$\sqrt{2}$，
∴直线l的直角坐标方程为$\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=-4\sqrt{3}$，即x+y+8=0．
（2）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=8{tan^2}θ\\ y=8tanθ\end{array}\right.$（θ为参数，$θ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$）．
P为曲线C上一点，Q为l上一点，
∴点P（8tan²θ，8tanθ）到直线l的距离：
d=$\frac{|8ta{n}^{2}θ+8tanθ+8|}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$|（tanθ+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$|=4$\sqrt{2}$（tan$θ+\frac{1}{2}$）²+3$\sqrt{2}$，
∴当tanθ=-$\frac{1}{2}$时，|PQ|取得最小值3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线的直角坐标方程的求法，考查线段长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程互化公式的合理运用．