Question

2．已知函数f（x）=lnx+$\frac{2a}{x}$，a∈R
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导数f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{2}}$，根据f（x）在[1，+∞）上是增函数，得出a≤$\frac{x}{2}$在[1，+∞）上恒成立．令g（x）=$\frac{x}{2}$，则a≤[g（x）]_min，从而求得实数a的取值范围；
（2）由（1）得f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{2}}$，x∈[1，e]．下面对2a进行分类讨论：①若2a＜1，②若1≤2a≤e，③若2a＞e，分别讨论函数f（x）在[1，e]上的最小值为2列出等式求出a值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+$\frac{2a}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≤$\frac{x}{2}$在[1，+∞）上恒成立．
令g（x）=$\frac{x}{2}$，
∵g（x）=$\frac{x}{2}$在[1，+∞）上是增函数，
∴g（x）_min=g（1）=$\frac{1}{2}$，
∴a≤$\frac{1}{2}$，
∴实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]；
（2）由（1）得f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{2}}$，x∈[1，e]．
①若2a＜1，则x-2a＞0，即f'（x）＞0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上是增函数．
所以[f（x）]_min=f（1）=2a=2，解得a=1（舍去）．
②若1≤2a≤e，令f'（x）=0，得x=2a．
当1＜x＜2a时，f'（x）＜0，所以f（x）在（1，2a）上是减函数，
当2a＜x＜e时，f'（x）＞0，所以f（x）在（2a，e）上是增函数．
所以[f（x）]_min=f（2a）=ln（2a）+1=2，解得a=$\frac{e}{2}$．
③若2a＞e，则x-2a＜0，即f'（x）＜0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上是减函数．
所以[f（x）]_min=f（e）=1+$\frac{2a}{e}$=2，解得a=$\frac{e}{2}$（舍去）．
综上所述：a=$\frac{e}{2}$．

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题