Question

给出以下命题：
（1）函数y=sinx+sin|x|的值域是[0，2]；
（2）若函数y=2cos（ax-

π

3

）的最小正周期是4π，则a=

1

2

；
（3）若锐角α，β满足cosα＞sinβ，则α+β＜

π

2

；
（4 ）若函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，θ∈（

π

4

，

π

2

），则f（sinθ）＞f（cosθ）．
其中正确命题的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：写出分段函数，由分段函数的值域判断（1）错误；
由周期公式直接求得a的值判断（2）错误；
化余弦为正弦，由正弦函数的单调性结合cosα＞sinβ得到α+β＜

π

2

，命题（3）正确；
由偶函数在对称区间上单调性的性质判断f（x）在[0，1]上是减函数，然后由角θ的范围得到sinθ与cosθ
的大小关系，从而得到f（sinθ）与f（cosθ）的大小关系，判断命题（4）错误．

解答： 解：对于（1），
∵y=sinx+sin|x|=

2sinx (x≥0) 0        (x＜0)

，
∴函数y=sinx+sin|x|的值域是[-2，2]，命题（1）错误；
对于（2），
∵函数y=2cos（ax-

π

3

）的最小正周期是4π，
∴

2π

|a|

=4π，解得a=±

1

2

，命题（2）错误；
对于（3），
∵α，β为锐角，由cosα＞sinβ，得sin（

π

2

-α）＞sinβ，
∴

π

2

-α＞β，则α+β＜

π

2

，命题（3）正确；
对于（4），
函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，
则f（x）在[0，1]上是减函数，
由θ∈（

π

4

，

π

2

），得

2

2

＜cosθ＜sinθ＜1，则f（sinθ）＜f（cosθ），命题（4）错误．
∴正确命题的个数是1．
故选：B．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的单调性、周期性以及值域的求法，是中档题．