Question

已知x，y，z成等差数列，求证：x²（y+z），y²（x+z），z²（x+y）也成等差数列．

Answer 1

考点：等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：由x，y，z成等差数列得到x+z=2y，然后证明y²（x+z）是x²（y+z），z²（x+y）的等差中项得答案．

解答： 证明：∵x，y，z成等差数列，
∴x+z=2y，
而x²（y+z）+z²（x+y）
=x²y+x²z+xz²+yz²
=y（x²+z²）+xz（x+z）
=y（x²+z²）+xz•2y
=y（x²+z²+2xz）
=y（x+z）²
=y•（2y）²
=2y²2y
=2•y²（x+z）．
∴x²（y+z），y²（x+z），z²（x+y）也成等差数列．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查由等差中项的概念判断数列为等差数列，是中档题．