Question

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．

x	-1	0	2	4	5
f（x）	1	2	1.5	2	1

下列关于函数f（x）的命题：
①函数f（x）的值域为[1，2]；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a最多有4个零点．
其中正确命题的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：导数的综合应用,简易逻辑

分析：由f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，可得：函数f（x）在区间[-1，0]上单调递增；在区间[0，2]上单调递减；在区间[2，4]上单调递增；在区间[4，5]上单调递减．结合表格可得函数f（x）的图象，进而判断出答案．

解答： 解：由f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，可得：函数f（x）在区间[-1，0]上单调递增；在区间[0，2]上单调递减；在区间[2，4]上单调递增；在区间[4，5]上单调递减．结合表格可得函数f（x）的图象：
由图象可得：
①函数f（x）的值域为[1，2]，正确；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数，正确；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5，因此不正确；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a最多有4个零点，正确．
综上可得：正确命题的个数为：3．
故选：D．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性图象与性质，考查了推理能力与数形结合的能力，属于中档题．