Question

13．设x，y∈（1，e）（e为自然对数的底数），则$\frac{lnx•lny（1-lnxy）}{（1-lnx）（1-lny）lnxy}$的最大值为（　　）

• A． 8
• B． $\frac{1}{8}$
• C． 4
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 设lnxlny=a，lnx+lny=b，原等式转化为$\frac{a（1-b）}{b（1-b+a）}$≤$\frac{1}{\frac{4}{b}+\frac{1}{1-b}-1}$，求出$\frac{4}{b}$+$\frac{1}{1-b}$的最小值即可．

解答 解：设lnxlny=a，lnx+lny=b，由题意知a∈（0，1），b∈（0，2）且b≥2$\sqrt{a}$，
∴$\frac{lnx•lny（1-lnxy）}{（1-lnx）（1-lny）lnxy}$=$\frac{a（1-b）}{b（1-b+a）}$，显然当b∈（0.1）时，才可能取得最大值，
∴$\frac{a（1-b）}{b（1-b+a）}$=$\frac{1}{（\frac{1}{a}+\frac{1}{1-b}）b}$≤$\frac{1}{（\frac{4}{{b}^{2}}+\frac{1}{1-b}）b}$=$\frac{1}{\frac{4}{b}+\frac{1}{1-b}-1}$，
∵$\frac{4}{b}$+$\frac{1}{1-b}$=（b+1-b）（$\frac{4}{b}$+$\frac{1}{1-b}$）=5+$\frac{4（1-b）}{b}$+$\frac{b}{1-b}$≥5+4=9，
∴$\frac{a（1-b）}{b（1-b+a）}$≤$\frac{1}{9-1}$=$\frac{1}{8}$，当且仅当b=2$\sqrt{a}$，即x=y，且b=2（1-b）即lnx+lny=$\frac{2}{3}$时取等号，即x=y=${e}^{\frac{1}{3}}$时取等号，
故最大值为$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查基本不等式的应用，关键是巧换元，构造基本不等式，属于中档题．