Question

12．向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，2m），$\overrightarrow{b}$=（sinθ，cosθ-1），对任意θ∈R，f（θ）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+2＜0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 利用向量的数量积，求出f（θ），将其转换成含有t的一元二次函数，讨论对称轴的取值，判断其最大值．

解答 解：f（θ）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+2=sin²θ+2m（cosθ-1）+2=-cos²θ+2mcosθ-2m+3，
令cosθ=t，t∈[-1，1]
f（t）=-t²+2mt-2m+3，t∈[-1，1]
对称轴t=m，
当m＜1，f（t）[-1，1]单调递减，当t=-1取最大值为-4m+3＜0，
∴m＞$\frac{3}{4}$，
此时m∈（$\frac{3}{4}$，1），
当m≥1，f（t）[-1，1]单调递增，当t=1时取最大值2，不满足，
当0＜m＜1时，当x=m取最大值，最大值为-（m+1）²+4＞0，
m＞1或m＜-3，不满足，
综上可知，m∈（$\frac{3}{4}$，1）时，对任意θ∈R，f（θ）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+2＜0成立．

点评 本题考查向量的数量积及一元二次函数对称轴的取值判断函数的最值，属于中档题．