Question

如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AC=AB=2

2

，E为AB的中点，点F在BC 上，且EF⊥BC．现沿EF 将△BEF 折1起到△PEF的位置，使PF⊥CF，点D 在PC上，且PD=

1

2

DC．
（1）求证：AD∥平面PEF；
（2）求二面角A-PC-F的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）建立以F为原点，分别以FC、FE、FP所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系，求出平面PEF的一个法向量，由此利用向量法能证明AD∥平面PEF．
（2）求出平面APC的一个法向量和平面PCF的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角A-PC-F的余弦值．

解答： 解：（1）证明：∵EF⊥BC，PF⊥CF，
∴建立以F为原点，分别以FC、FE、FP所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系，
如右图所示，则F（0，0，0），C（3，0，0），A（1，2，0），D（1，0，

2

3

），
由题意知

FC

=（3，0，0）为平面PEF的一个法向量，
又∵

AD

=（0，-2，

2

3

），∴

FC

•

AD

=0，
又AD?平面PEF，∴AD∥平面PEF．
（2）解：由（1）知P（0，0，1），E（0，1，0），
∴

n

=（x₁，y₁，z₁），

n • PC =3x1-z1=0 n • AC =2x1-2y1=0

，
令x₁=1，解得

n

=（1，1，3）为平面APC的一个法向量，
又∵

FE

=（0，1，0）为平面PCF的一个法向量，
∴cos＜

n

，

FE

＞=

FE • n

| FE |•| n |

=

11

11

，
∴二面角A-PC-F的余弦值为

11

11

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．