晚自习结束后.几位同学在一起讨论问题.小李看到小杨把三角等式cos=cosαcosβ-sinαsinβ错写成了cos=cosα-sinβ．爱思考的他给大家提出了以下几个问题:=cosα-sinβ一定成立吗?请说明理由,=cosα-sinβ一定不成立吗?请说明理由,=cosα-sinβ何时成立?请说明理由．经过一番热烈的讨论后.熄灯前几位同学� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．晚自习结束后，几位同学在一起讨论问题，小李看到小杨把三角等式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ错写成了cos（α+β）=cosα-sinβ．爱思考的他给大家提出了以下几个问题：
（1）等式cos（α+β）=cosα-sinβ一定成立吗？请说明理由；
（2）等式cos（α+β）=cosα-sinβ一定不成立吗？请说明理由；
（3）等式cos（α+β）=cosα-sinβ何时成立？请说明理由．
经过一番热烈的讨论后，熄灯前几位同学得出了一致的结论，结束了讨论，现在，请你也来试一试吧!

分析（1）由正确的三角等式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ可得：当cosβ≠1，或sinα≠1时，cosαcosβ-sinαsinβ≠cosα-sinβ，进而得到结论；
（2）由正确的三角等式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ可得：当cosβ=sinα=1时，cosαcosβ-sinαsinβ=cosα-sinβ，进而得到结论；
（3）综合（1）（2）中的结论，可得答案．

解答解：（1）等式cos（α+β）=cosα-sinβ不一定成立，理由如下：
∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，
当cosβ≠1，或sinα≠1时，cosαcosβ-sinαsinβ≠cosα-sinβ，
故等式cos（α+β）=cosα-sinβ不一定成立；
（2）等式cos（α+β）=cosα-sinβ不一定不成立，理由如下：
∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，
当cosβ=sinα=1时，cosαcosβ-sinαsinβ=cosα-sinβ，
故等式cos（α+β）=cosα-sinβ不一定不成立；
（3）综合（1）（2）可得，
当cosβ=sinα=1时，等式cos（α+β）=cosα-sinβ成立；
当cosβ≠1，或sinα≠1时，等式cos（α+β）=cosα-sinβ不成立；

点评本题考查的知识点是归纳推理，两角和的余弦公式，本题中从错误中找到有用的规律，也是我们学习中应具备的技能．

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