Question

9．在△ABC中，给出下列5个命题：
①若A＜B，则sinA＜sinB；
②sinA＜sinB，则A＜B；
③若A＞B，则$\frac{1}{tan2A}$＞$\frac{1}{tan2B}$；
④若A＜B，则cos²A＞cos²B；
⑤若A＜B，则tan$\frac{A}{2}$＜tan$\frac{B}{2}$；
其中正确命题的序号是①②④⑤．

Answer 1

分析 利用正弦定理、三角函数加法定理、倍角公式等知识求解．

解答 解：在△ABC中：
①∵$\frac{sinA}{a}$=$\frac{sinB}{b}$，
∴当A＜B时，根据三角形内，大角对大边，得a＜b，
∴sinA＜sinB，故①正确；
②∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，
当sinA＜sinB时，则a＜b，根据三角形内，大边对大角，
∴A＜B，故②正确；
③则$\frac{1}{tan2A}$-$\frac{1}{tan2B}$=$\frac{cos2A}{sin2A}$-$\frac{cos2B}{sin2B}$=$\frac{cos2Asin2B-cos2Bsin2A}{sin2Asin2B}$=$\frac{sin2（B-A）}{sin2Asin2B}$，
∵A＞B，
∴0＜A-B＜π，
∴sin（B-A）=-sin（A-B）＜0，
当0＜A≤$\frac{π}{2}$，0＜B≤$\frac{π}{2}$时，0＜2A≤π，0＜2B≤π，0≤A-B≤$\frac{π}{2}$，
sin2A＞0，sin2B＞0，cos（B-A）＞0
∴则$\frac{1}{tan2A}$-$\frac{1}{tan2B}$＜0，∴$\frac{1}{tan2A}$＜$\frac{1}{tan2B}$；
当$\frac{π}{2}$＜A＜π，0＜B≤$\frac{π}{2}$时（A和B不可能同时在第二象限），π＜2A＜2π，0＜2B≤π，
∴sin2A＜0，sin2B＞0
当0≤A-B≤时，cos（B-A）＞0，
∴则$\frac{1}{tan2A}$-$\frac{1}{tan2B}$＞0，∴$\frac{1}{tan2A}$＞$\frac{1}{tan2B}$，
当$\frac{π}{2}$＜A-B≤π时，cos（B-A）＜0，
∴$\frac{1}{tan2A}$-$\frac{1}{tan2B}$＜0，∴$\frac{1}{tan2A}$＜$\frac{1}{tan2B}$；
则$\frac{1}{tan2A}$＞$\frac{1}{tan2B}$；，故③错误；
④cos²A-cos²B=$\frac{1}{2}$（2cos²A-2cos²B）
=$\frac{1}{2}$[（2cos²A-1）-（2cos²B-1）]
=（cos2A-cos2B）
=$\frac{1}{2}$×（-2）×sin（A+B）×sin（A-B）
=-sin（A+B）sin（A-B），
∵A＞B，∴0＜A-B＜π
∵0＜A+B＜π，∴sin（A+B）＞0，
∴cos²A-cos²B＜0，cos²A＜cos²B．故④正确；
⑤tan$\frac{A}{2}$-tan$\frac{B}{2}$=tan$\frac{A}{2}$-tan（-$\frac{B}{2}$）=$\frac{sin\frac{A-B}{2}}{cos\frac{A}{2}cos（-\frac{B}{2}）}$，
∵0＜$\frac{B-A}{2}$＜$\frac{π}{2}$，0＜$\frac{B}{2}$≤$\frac{π}{2}$，
∴tan$\frac{A}{2}$-tan$\frac{B}{2}$＜0，
∴tan$\frac{A}{2}$＜tan$\frac{B}{2}$；
故⑤正确，
故正确命题的序号是：①②④⑤，
故答案为：①②④⑤

点评 本题考查命题真假的判断，解题时要认真审题，注意正弦定理、三角函数加法定理、倍角公式等知识的合理运用．