Question

20．2015年第7届女足世界杯在加拿大埃德蒙顿联邦体育场打响，某连锁分店销售某种纪念品，每件纪念品的成本为4元，并且每件纪念品需向总店交3元的管理费，预计当每件纪念品的售价为x元（7≤x≤9）时，一年的销售量为（x-10）²万件．
（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件纪念品的售价x的函数关系式L（x）；
（Ⅱ）当每件纪念品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意求出函数的表达式即可；
（Ⅱ）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：
L（x）=（x-7）（x-10）²，x∈[7，9]，
（Ⅱ）L′（x）=（x-10）²+2（x-7）（x-10）=3（x-10）（x-8），
令L′（x）=0，得x=8或x=10（舍去），
∵x∈[7，8]，L′（x）＞0，x∈[8，9]，L′（x）＜0，
∴L（x）在x∈[7，8]上单调递增，在x∈[8，9]上单调递减，
∴L（x）_max=L（8）=4；
答：每件纪念品的售价为8元，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为4万元．

点评 本题考查了函数的解析式问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．