Question

4．数列求和：
（1）求数列1$\frac{1}{2}$，2$\frac{1}{4}$，3$\frac{1}{8}$，…（n+$\frac{1}{{2}^{n}}$），…的前n项和S_n；
（2）求和：1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+…+n}$；
（3）设f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，求f（$\frac{1}{2014}$）+f（$\frac{1}{2013}$）+…+f（1）+f（2）+…+f（2014）；
（4）求和：S_n=$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{{a}^{3}}$+…+$\frac{n}{{a}^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）将数列拆分成等差数列和等比数列和的形式，分别求得前n项和，即可求得前n项和S_n；
（2）$\frac{1}{1+2+…+n}$=$\frac{1}{\frac{n（n+1）}{2}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），“裂项法”即可求得数列的前n项和；
（3）f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$+$\frac{\frac{1}{{n}^{2}}}{1+\frac{1}{{n}^{2}}}$=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$+$\frac{1}{{n}^{2}+1}$=1，求得f（1），即可求得答案；
（4）分类讨论，当a=1时，数列为等差数列，求得S_n，当a≠1时，利用乘以公比“错位相减法”即可求得S_n．

解答 解：（1）1$\frac{1}{2}$，2$\frac{1}{4}$，3$\frac{1}{8}$，…（n+$\frac{1}{{2}^{n}}$），…前n项和S_n；
S_n=（1+2+3+…+n）+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$），
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}$，
=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
S_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
（2）$\frac{1}{1+2+…+n}$=$\frac{1}{\frac{n（n+1）}{2}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+…+n}$，
=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]，
=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{2n}{n+1}$；
（3）f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$+$\frac{\frac{1}{{n}^{2}}}{1+\frac{1}{{n}^{2}}}$=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$+$\frac{1}{{n}^{2}+1}$=1，
f（$\frac{1}{2014}$）+f（$\frac{1}{2013}$）+…+f（1）+f（2）+…+f（2014）=2013+f（1）=2013+$\frac{1}{2}$=2013$\frac{1}{2}$；
（4）当a=1时，S_n=1+2+3+…+n，
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
当a≠1时，
S_n=$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{{a}^{3}}$+…+$\frac{n}{{a}^{n}}$．
$\frac{1}{a}$S_n=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{a}^{3}}$+$\frac{3}{{a}^{4}}$+…+$\frac{n}{{a}^{n+1}}$，
两式相减得：（1-$\frac{1}{a}$）S_n=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{a}^{3}}$+…+$\frac{1}{{a}^{n}}$-$\frac{n}{{a}^{n+1}}$，
=$\frac{\frac{1}{a}（1-\frac{1}{{a}^{n}}）}{1-\frac{1}{a}}$-$\frac{n}{{a}^{n+1}}$，
∴S_n=$\frac{\frac{1}{a}（1-\frac{1}{{a}^{n}}）}{1-\frac{1}{a}}$-$\frac{\frac{n}{{a}^{n+1}}}{1-\frac{1}{a}}$，
综上可知：S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（n+1）}{2}}&{a=1}\\{\frac{\frac{1}{a}（1-\frac{1}{{a}^{n}}）}{（1-\frac{1}{a}）^{2}}-\frac{\frac{n}{{a}^{n+1}}}{1-\frac{1}{a}}}&{a≠1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查求数列的前n项和，考查观察法、“裂项法”、“错位相减法”等求数列的前n项和的方法，等比等差数列前n项和公式，属于中档题．