Question

已知数列{a_n}是一个公差大于零的等差数列，且a₃a₆=55，a₂+a₇=16，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2b_n-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

an

bn

，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差，由题意列方程组求解首项和公差，则等差数列的通项公式可求．直接由b_n=S_n-S_n-1（n≥2）求等比数列的通项公式；
（Ⅱ）把数列{a_n}，{b_n}的通项公式代入c_n=

an

bn

，然后由错位相减法求其和．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d（d＞0），由a₃a₆=55，a₂+a₇=16，得

(a1+2d)(a1+5d)=55 2a1+7d=16

，解得

a1=1 d=2

．
∴a_n=2n-1．
由S_n=2b_n-2，
当n=1时，b₁=S₁=2b₁-2，b₁=2．
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=（2b_n-2）-（2b_n-1-2）=2b_n-2b_n-1，
∴b_n=2b_n-1．
∴{b_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴bn=2•2n-1=2n；
（Ⅱ）cn=

an

bn

=

2n-1

2n

，
Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

  ①

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

  ②
①-②得，

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

．
∴Tn=3-

2n+3

2n

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．