Question

如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.

(1)求索道AB的长；

(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

Answer 1

解：(1)在△ABC中，

因为cos A＝，cos C＝，

所以sin A＝，sin C＝.

从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)

＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.

由正弦定理＝，

得AB＝·sin C＝×＝1 040(m)．

所以索道AB的长为1 040 m.

(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，

此时，甲行走了(100＋50t) m，乙距离A处130t m，

所以由余弦定理得

d²＝(100＋50t)²＋(130t)²－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t²－70t＋50)．

由于0≤t≤，即0≤t≤8，

故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．

(3)由正弦定理＝，

得BC＝·sin A＝×＝500(m)．

乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，

还需走710 m才能到达C.

设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，

所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，

乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)范围内．