Question

某企业科研课题组计划投资研发一种新产品，根据分析和预测，能获得10万元～1000万元的投资收益．企业拟制定方案对课题组进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%，并用函数y=f（x）这一模型模拟奖励方案．
（Ⅰ）试用模拟函数y=f（x）的性质表述奖励方案；
（Ⅱ）试分析下列两个函数模型是否符合奖励方案的要求？说明你的理由．（1）y=

x

120

+1； （2）y=4lgx-3．

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）设奖励函数模型为y=f（x），根据“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，说明在定义域上是增函数，且奖金不超过9万元，即f（x）≤9，同时奖金不超过投资收益的20%．即f(x)≤

x

5

．
（Ⅱ）根据（I）去判断，（1）对于函数模型f(x)=

x

120

+1，由一次函数的性质研究f（x）≤9不成立．
（2）对于函数模型f（x）=4lgx-3，由对数函数的性质研究．

解答： 解：（Ⅰ）该奖励方案对函数模型的基本要求是：
①当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数； ②f（x）≤9恒成立；③f(x)≤

x

5

恒成立．…（3分）
（Ⅱ）对于函数模型f(x)=

x

120

+1：
当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数，
则f(x)max=f(1000)=

1000

120

+1=

25

3

+1＞9，所以f（x）≤9不成立．
故该函数模型不符合要求．  …（6分）
对于函数模型f（x）=4lgx-3：
当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数，则f（x）_max=f（1000）=4lg1000-3=9．
所以f（x）≤9恒成立．      …（9分）
设g(x)=4lgx-3-

x

5

，则g′(x)=

4lge

x

-

1

5

．
当x≥10时，g′(x)=

4lge

x

-

1

5

≤

2lge-1

5

=

lge2-1

5

＜0，
所以g（x）在[10，1000]上是减函数，从而g（x）≤g（10）=-1＜0．
所以4lgx-3-

x

5

＜0，即4lgx-3＜

x

5

，所以f(x)＜

x

5

恒成立．
故该函数模型符合要求．
因此，两个函数中只有第二个函数符合奖励方案要求．…（12分）

点评：本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言--数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．