Question

已知数列{a_n}的前五项依次是0，-

1

3

，-

1

2

，-

3

5

，-

2

3

．正数数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=

1

2

（b_n+

n

bn

）．
（Ⅰ）写出符合条件的数列{a_n}的一个通项公式；
（Ⅱ）求S_n的表达式；
（Ⅲ）在（I）、（II）的条件下，c₁=2，当n≥2时，设c_n=-

1

anS 2 n

，T_n是数列{c_n}的前n项和，且T_n＞log_m（1-2m）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）观察数列{a_n}的前五项寻找规律，能求出an=

1-n

1+n

，(n∈N*)．
（II）由已知条件推导出S₁=1，Sn2-Sn-12=n，由此利用累加法能求出Sn=

n(n+1) 2

．
（III）由已知得c₁=2，当n≥2时，cn=-

1

anSn2

=

2

n(n-1)

=2(

1

n-1

-

1

n

)，由此利用裂项求和法能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（I）∵数列{a_n}的前五项依次是0，-

1

3

，-

1

2

，-

3

5

，-

2

3

，
a1=

1-1

1+1

=0，
a2=

1-2

1+2

=-

1

3

，
a3=

1-3

1+3

=-

1

2

，
a4=

1-4

1+4

=-

3

5

，
a5=

1-5

1+5

=-

2

3

，
∴an=

1-n

1+n

，(n∈N*)．…（2分）
（II）∵Sn=

1

2

(bn+

n

bn

)，b_n＞0，
∴b1=

1

2

(b1+

1

b1

)，解得b₁=1，即S₁=1．
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，
∴2Sn=Sn-Sn-1+

n

Sn-Sn-1

.Sn+Sn-1=

n

Sn-Sn-1

，
即Sn2-Sn-12=n．…（5分）
∴Sn-12-Sn-22=n-1，Sn-22-Sn-32=n-2，…，S22-S12=2，
累加，得Sn2-S12=2+3+4+…+n．
∴Sn2=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
即Sn=

n(n+1) 2

．…..（8分）
（III）在（I）、（II）的条件下，c₁=2．
当n≥2时，cn=-

1

anSn2

=

2

n(n-1)

=2(

1

n-1

-

1

n

)．
当n=1时，T₁=c₁=2；
当n≥2时，
Tn=c1+c2+c3+…+cn=2[1+(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…(

1

n-1

-

1

n

)]=2(2-

1

n

)．…．（10分）
∵T_n＞log_m（1-2m）恒成立，
即log_m（1-2m）恒小于T_n的最小值．
显然，T_n的最小值在n=1时取得，且最小值为2．
故有log_m（1-2m）＜2．…..（12分）
∴

0＜m＜1 1-2m＞0 1-2m＞m2

①或

m＞1 1-2m＞0 1-2m＜m2

②
解①得，0＜m＜

2

-1，不等式组②无解．
故实数m的取值范围是(0，

2

-1)．…（14分）

点评：本题考查数列{a_n}的通项公式和前n项和公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意累加法和裂项求和法的合理运用．