【题目】已知抛物线的焦点为
,圆
与
轴的一个交点为
,圆
的圆心为
,
为等边三角形.
(1)求抛物线的方程
(2)设圆与抛物线
交于
、
两点,点
为抛物线
上介于
、
两点之间的一点,设抛物线
在点
处的切线与圆
交于
、
两点,在圆
上是否存在点
,使得直线
、
均为抛物线
的切线,若存在求
点坐标(用
、
表示);若不存在,请说明理由.
【答案】(1);
(2)存在圆上一点满足
、
均为为抛物线
的切线,详见解析.
【解析】
(1)将圆的方程表示为标准方程,得出其圆心
的坐标,求出点
的坐标,求出抛物线
的焦点
的坐标,然后由
为等边三角形得出
为圆
的半径可求出
的值,进而求出抛物线
的方程;
(2)设、
,设切线
、
的方程分别为
和
,并写出抛物线
在点
的切线方程,设
,并设过点
的直线
与抛物线
相切,利用
可求出
、
的表达式,从而可用
表示直线
、
,然后求出点
的坐标,检验点
的坐标满足圆
的方程,即可得出点
的存在性,并得出点
的坐标.
(1)圆的标准方程为
,则点
,抛物线
的焦点为
,
为等边三角形,则
,即
,解得
,
因此,抛物线;
(2)设、
.过点
、
作抛物线
的两条切线(异于直线
)交于点
,并设切线
,
,
由替换法则,抛物线在点
处的切线方程为
,
即,记
,①
设过点的直线
与抛物线
相切,
代入抛物线方程,得
,
,即
,
,
,
由①可得,,
,②,同理可得,
,
切线
,
,
联立两式消去可得,
,③
代入可得,
代入②有,,
联立与圆
可得,
,
,
分别代入③、④可得,
,
,
即切线、
的交点
在圆
上,
故存在圆上一点,满足
、
均为抛物线
的切线.
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【题目】已知椭圆的两个焦点分别为
,
,离心率为
,且过点
.
()求椭圆
的标准方程.
()
、
、
、
是椭圆
上的四个不同的点,两条都不和
轴垂直的直线
和
分别过点
,
,且这条直线互相垂直,求证:
为定值.
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【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
为参数),以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
交于
,
两点,且设定点
,求
的值.
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【题目】某数学小组从医院和气象局获得2018年1月至6月份每月20的昼夜温差(℃,
)和患感冒人数(
/人)的数据,画出如图的折线图.
(1)建立关于
的回归方程(精确到0.01),预测2019年1月至6月份昼夜温差为41时患感冒的人数(精确到整数);
(2)求与
的相关系数,并说明
与
的相关性的强弱(若
,则认为
与
具有较强的相关性).
参考数据:,
,
,
.
参考公式:
相关系数
回归直线方程,
,
.
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【题目】(本小题满分16分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N*).
(1)试求出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式;
(2)用数学纳法证明你的猜想,并求出an的表达式.
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【题目】如图,四棱锥的底面是边长为1的正方形,
垂直于底面
,
.
(1)求证;
(2)求平面与平面
所成二面角的大小;
(3)设棱的中点为
,求异面直线
与
所成角的大小.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,
分别为左,右焦点,
分别为左,右顶点,原点
到直线
的距离为
.设点
在第一象限,且
轴,连接
交椭圆于点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若三角形的面积等于四边形
的面积,求直线
的方程;
(3)求过点的圆方程(结果用
表示).
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
,若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.
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【题目】给出以下命题:
① 双曲线的渐近线方程为
;
② 命题“
,
”是真命题;
③ 已知线性回归方程为,当变量
增加
个单位,其预报值平均增加
个单位;
④ 设随机变量服从正态分布
,若
,则
;
⑤ 已知,
,
,
,依照以上各式的规律,得到一般性的等式为
,(
)
则正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).
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