Question

14．已知f（x）是定义在R上的函数，其导函数f'（x）满足f'（x）＜f（x）（x∈R），则（　　）

• A． f（2）＞e²f（0），f（2001）＞e²⁰⁰¹f（0）
• B． f（2）＜e²f（0），f（2001）＞e²⁰⁰¹f（0）
• C． f（2）＞e²f（0），f（2001）＜e²⁰⁰¹f（0）
• D． f（2）＜e²f（0），f（2001）＜e²⁰⁰¹f（0）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数判断函数g（x）的单调性，通过单调性得到答案．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f'（x）＜f（x），
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在R上递减，
∴g（0）＞g（2），g（0）＞g（2011），
∴f（0）＞$\frac{f（2）}{{e}^{2}}$，f（0）＞$\frac{f（2001）}{{e}^{2001}}$，
∴f（2）＜e²f（0），f（2001）＜e²⁰⁰¹f（0），
故选：D

点评 本题考查了函数的单调性和导数的关系，关键是构造函数，属于基础题．