Question

已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，∠ASC=∠BSC=30°，且AB=2，则三棱锥S-ABC的体积为（　　）

• A、

  2 3

  3

• B、

  2 2

  3

• C、

  4 3

  3

• D、

  4 2

  3

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,球内接多面体

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知得∠SAC=∠SBC=90°，∠SCA=∠SCB=60°，AC=BC=2，SA=SB=2

3

，取AB中点D，CD=

4-1

=

3

，S_△ABC=

1

2

×2×

3

=

3

，SD=

12-1

=

11

，由余弦定理求出cos∠SCD=

3

3

，从而得到sin∠SCD=

6

3

，进而得到S到平面ABC的距离h=SC•sin∠SCD=

4 6

3

，由此能求出三棱锥S-ABC的体积．

解答： 解：如图，∵球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，
∠ASC=∠BSC=30°，且AB=2，
∴∠SAC=∠SBC=90°，∠SCA=∠SCB=60°，
∴AC=BC=2，SA=SB=2

3

，取AB中点D，CD=

4-1

=

3

，
S_△ABC=

1

2

×2×

3

=

3

，
∵SA=SB，D为AB中点，∴SD⊥AB，
SD=

12-1

=

11

，
∴cos∠SCD=

SC2+CD2-SD2

2SC•CD

=

16+3-11

2×4× 3

=

3

3

，
sin∠SCD=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴S到平面ABC的距离h=SC•sin∠SCD=

4 6

3

，
∴三棱锥S-ABC的体积V=

1

3

×

4 6

3

×

3

=

4 2

3

．
故选：D．

点评：本题考查三棱锥体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．