Question

19．求与双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有公共焦点，且过点（3$\sqrt{2}$，2）的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），由题意可得c=2$\sqrt{5}$，即a²+b²=20，将点（3$\sqrt{2}$，2）代入双曲线方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦点为（±2$\sqrt{5}$，0），
可设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
由题意可得c=2$\sqrt{5}$，即a²+b²=20，
将点（3$\sqrt{2}$，2）代入双曲线方程可得，
$\frac{18}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
解得a=2$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{2}$，
即有所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，点满足方程，考查运算能力，属于基础题．