Question

5．各棱长都等于4的四面ABCD中，设G为BC的中点，E为△ACD内的动点（含边界），且GE∥平面ABD，若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=1，则|$\overrightarrow{AE}$|=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．

Answer 1

分析 连接CE，并延长交AD于F，连接BF，运用线面平行的性质定理可得EG∥BF，由G为BC的中点，可得E为CF的中点，设AF=t，再由向量的中点的向量表示，结合向量的数量积的性质，解得t=1，再由向量的模的公式，计算即可得到所求值．

解答 解：连接CE，并延长交AD于F，连接BF，
由EG∥平面ABD，EG?平面BCF，平面BCF∩平面ABD=BF，
可得EG∥BF，由G为BC的中点，可得E为CF的中点，
设AF=t，则$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AF}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\frac{t}{4}$$\overrightarrow{AD}$），
在四面体ABCD中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=4×4×$\frac{1}{2}$=8，
$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\frac{t}{4}$$\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{t}{4}$$\overrightarrow{AD}$²-$\frac{t}{4}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{2}$（8-8+$\frac{t}{4}$•16-$\frac{t}{4}$•8）=1，
解得t=1，即$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AD}$），
可得|$\overrightarrow{AE}$|²=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AC}$²+$\frac{1}{16}$$\overrightarrow{AD}$²+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$）
=$\frac{1}{4}$×（16+$\frac{1}{16}$×16+$\frac{1}{2}$×8）=$\frac{21}{4}$，
可得|$\overrightarrow{AE}$|=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{21}}{2}$．

点评 本题考查向量的模的求法，注意运用中点的向量的表示，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查线面平行的性质定理的运用以及中位线定理的运用，属于中档题．