Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=

2

，点E在PD上，且PE=2ED．
（Ⅰ）求二面角P-AC-E的大小；
（Ⅱ）试在棱PC上确定一点F，使得BF∥平面AEC．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明PA⊥平面ABCD，建立坐标系，求出平面ACE的一个法向量

n

=（1，-

3

，2

3

），平面ACP的一个法向量为

m

=（

3

2

，-

3

2

，0），利用向量的夹角公式，即可求二面角P-AC-E的大小；
（Ⅱ）取棱PC的中点F，线段PE的中点M，连接BD．设BD∩AC=O．连接BF，MF，BM，OE．结合菱形的性质及三角形中位线定理及面面平行的判定定理可得平面BMF∥平面AEC，进而由面面平行的性质得到BF∥平面AEC．

解答： 解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=AC=1，
在△PAB中，由PA²+AB²=2=PB²，知PA⊥AB，
同理PA⊥AD
∴PA⊥平面ABCD．
建立坐标系，则A（0，0，0），B（

3

2

，-

1

2

，0），C（

3

2

，

1

2

，0），P（0，0，1），D（0，1，0），E（0，

2

3

，

1

3

），
∴

AC

=（

3

2

，

1

2

，0），

AE

=（0，

2

3

，

1

3

），
设平面ACE的一个法向量为

n

=（x，y，z），则

3 2 x+ 1 2 y=0 2 3 y+ 1 3 z=0

，
可取

n

=（1，-

3

，2

3

），
同理平面ACP的一个法向量为

m

=（

3

2

，-

3

2

，0），
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

2

，
∴二面角P-AC-E的大小为60°；
（Ⅱ）存在点F为PC的中点，使BF∥平面AEC．
理由如下：
取棱PC的中点F，线段PE的中点M，连接BD．设BD∩AC=O．
连接BF，MF，BM，OE．
∵PE：ED=2：1，F为PC的中点，E是MD的中点，
∴MF∥EC，BM∥OE．
∵MF?平面AEC，CE?平面AEC，BM?平面AEC，OE?平面AEC，
∴MF∥平面AEC，BM∥平面AEC．
∵MF∩BM=M，
∴平面BMF∥平面AEC．
又BF?平面BMF，
∴BF∥平面AEC．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角，（Ⅱ）的关键是证得平面BMF∥平面AEC．