Question

3．已知二次函数f（x）=ax²+bx+3在x=2时取得最小值，且函数f（x）的图象在x轴上截得的线段长为2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-mx的一个零点在区间（0，2）上，另一个零点在区间（2，3）上，求实数m的取值范围．
（3）当x∈[t，t+1]时，函数f（x）的最小值为-$\frac{1}{2}$，求实数t的值．

Answer 1

分析 （1）由已知中二次函数f（x）=ax²+bx+3在x=2时取得最小值，且函数f（x）的图象在x轴上截得的线段长为2．求出a，b值，可得函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-mx的一个零点在区间（0，2）上，另一个零点在区间（2，3）上，则$\left\{\begin{array}{l}g（0）＞0\\ g（2）＜0\\ g（3）＞0\end{array}\right.$，解得实数m的取值范围．
（3）由（1）知，f（x）=x²-4x+3的对称轴是x=2，分析给定区间与对称的位置关系，结合当x∈[t，t+1]时，函数f（x）的最小值为-$\frac{1}{2}$，分类讨论，可得实数t的值．

解答 解：因为二次函数f（x）=ax²+bx+3在x=2时取得最小值，
所以$-\frac{b}{2a}$=2，即b=-4a，
所以f（x）=ax²-4ax+3，…（1分）
设函数f（x）的图象在x轴上的两个交点分别为（x₁，0），（x₂，0），
所以|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{16{a}^{2}-12a}}{a}$-2，…（2分）
所以a=1．
所以f（x）=x²-4x+3                              …（4分）
注：设为二次函数的零点式，对照给分
（2）g（x）=f（x）-mx=x²-（m+4）x+3              …（5分）
因为函数g（x）的一个零点在区间（0，2）上，另一个零点在区间（2，3）上．
所以$\left\{\begin{array}{l}g（0）＞0\\ g（2）＜0\\ g（3）＞0\end{array}\right.$                                    …（8分）
所以-$\frac{1}{2}$＜a＜0．…（10分）
（3）由（1）知，f（x）=x²-4x+3的对称轴是x=2，
①当t+1≤2时，即t≤1时，函数f（x）在区间[t，t+1]上是单调减函数，
所以当x=t+1时，函数取最小值t²-2t=$-\frac{1}{2}$，
解得：t=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（12分）
②当t＜2＜t+1时，即1＜t＜2时，
当x=2时，函数取最小值-1≠$-\frac{1}{2}$，…（13分）
③当t≥2时，函数f（x）在区间[t，t+1]上是单调增函数，
所以当x=t时，函数取最小值t²-4t+3=$-\frac{1}{2}$，
解得：t=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（15分）
综合上所述，t=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或t=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（16分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．