Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（1-x）=1，f（

x

3

）=

1

2

f（x）且当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），则f（

1

3

）+f（

1

7

）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：反复运用条件f（x）+f（1-x）=1与f（

x

3

）=

1

2

f（x），求得f（0）、f（1），推出x∈[

1

3

，

1

2

]时，f（x）=

1

2

，
最后把x=

1

7

代入f（

x

3

）=

1

2

f（x）得f（

1

7

）=

1

2

f（

3

7

），再由f（

3

7

）=

1

2

求得结果．

解答： 解：把x=0代入f（

x

3

）=

1

2

f（x）得f（0）=

1

2

f（0），∴f（0）=0，
把x=1代入f（x）+f（1-x）=1可知f（1）+f（0）=1，∴f（1）=1，
∴f（

1

3

）=

1

2

f（1）=

1

2

，
把x=

1

2

代入f（x）+f（1-x）=1可得f（

1

2

）+f（

1

2

）=1，∴f（

1

2

）=

1

2

，
又因为0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），
所以x∈[

1

3

，

1

2

]时，f（x）=

1

2

，
把x=

1

7

代入f（

x

3

）=

1

2

f（x）得f（

1

7

）=

1

2

f（

3

7

），
∵x∈[

1

3

，

1

2

]时，f（x）=

1

2

，∴f（

3

7

）=

1

2

，
∴f（

1

7

）=

1

2

f（

3

7

）=

1

4

，
∴f（

1

3

）+f（

1

7

）=

1

2

+

1

4

=

3

4

，
故答案为：

3

4

．

点评：本题主要考查抽象函数的性质，解答的关键是反复运用所给的条件，利用式子与式子之间的变换得到结论．