Question

已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ为参数），定点A（0，-

3

），F₁、F₂是圆锥曲线C的左、右焦点．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F₁且平行于直线AF₂的直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中直线l与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F₁M|•|F₁N|．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）利用cos²θ+sin²θ=1可得曲线C的普通方程，即可得出焦点坐标，得到直线l的点斜式方程，化为极坐标方程即可；
（2）直线的参数方程是

x=-+ 1 2 t y= 3 2 t

（为参数），代入椭圆方程得5t²-4t-12=0，利用参数的意义即可得出．

解答： 解：（1）圆锥曲线C的参数方程为

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ为参数），
∴普通方程为C：

x2

4

+

y2

3

=1，A（0，-

3

），F₁（-1，0），F₂（1，0），
kAF2=

3

，直线l的方程为y=

3

（x+1），
∴直线l极坐标方程为：ρsinθ=

3

ρcosθ+

3

，化为2ρsin(θ-

π

3

)=

3

．
（2）直线的参数方程是

x=-+ 1 2 t y= 3 2 t

（为参数），
代入椭圆方程得5t²-4t-12=0，
∴t1t2=

-12

5

．
∴|F₁M|•|F₁N|=|t1t2|=

12

5

．

点评：本题考查了直线的直角坐标方程化为极坐标、椭圆的参数方程化为普通方程、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．